O grande naturalista inglês Charles Darwin (1809 - 1882) lamentava não ter estudado matemática na juventude pois, dizia, "pessoas com esse conhecimento parecem ter um sentido extra", veem coisas que mais ninguém vê.
Anos atrás tive um aluno de doutorado que encontrou uma aplicação prática para essa ideia: dizia aos colegas que estavam acabando a tese que só com o olhar eu já conseguia descobrir os erros, não precisava nem ler o trabalho.
Era mito, claro, mas deixava os outros nervosos –será que era essa a intenção?– e quero crer que os terá motivado a escrever com mais cuidado.
Mas é um fato que matemáticos conseguem mesmo descobrir erros e fraudes em documentos sem precisar lê-los com atenção.
Foi isso que descobriu em 1993, da pior maneira, o funcionário Wayne J. Nelson da secretaria de fazenda estadual do Arizona. Ele vinha desviando dinheiro por meio de notas frias e era muito bom nisso: todas as contas estavam corretas e ele só falsificava valores pequenos, para passarem despercebidos.
Assim mesmo, quando os matemáticos olharam os valores dos cheques dele perceberam na hora que algo estava errado. O assunto foi investigado: descobriu-se que Nelson tinha roubado mais de US$ 2 milhões. Ele foi julgado e condenado.
A mágica que os matemáticos usaram é chamada lei de Benford, em homenagem ao engenheiro e físico americano Frank A. Benford (1883 - 1948), embora tenha sido descoberta bem antes pelo astrônomo e matemático canadense Simon Newcomb (1835 - 1909).
Em 1881, Newcomb notou que as tabelas de logaritmos que usava estavam muito manuseadas nas páginas com números que começavam com 1 e 2, e cada vez menos à medida que o primeiro dígito dos logaritmos ia aumentando. Num livro de ficção se poderia pensar que os leitores iam perdendo interesse na história, e desistiam de ler. Mas numa tabela de logaritmos?
Para explicar o fenômeno, Newcomb sugeriu que logaritmos começando com dígitos pequenos são mais prováveis, e propôs a seguinte tabela:
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Na época isto deve ter parecido uma esquisitice, e o assunto foi esquecido por meio século, até ser redescoberto em 1938 por Benford, que lhe deu fama.
Mais uma vez, foram as tabelas de logaritmos que chamaram a atenção, mas Benford foi mais longe e analisou muitas outras listas de números, para todos os gostos: pesos atômicos de elementos químicos, preços de ações na bolsa de valores, calores específicos de substâncias, resultados das ligas de beisebol, voltagens de aparelhos de raio-X, taxas de mortalidade etc.
O que ele descobriu é extraordinário: em praticamente todas as listas com que lidamos na vida real, há muito mais números começando com 1 do que com 9, obedecendo à tabela acima.
Veja por exemplo, a distribuição do primeiro dígito na lista das populações dos municípios brasileiros em 2017, que acabo de calcular, e compare com a previsão da lei de Benford:
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Se este exemplo não o convence, sugiro que anote todos os números que aparecem na edição de hoje da Folha: aposto que cerca da metade começa com os dígitos 1 ou 2.
O que despertou as suspeitas no caso do fraudador Nelson foi que 90% dos cheques dele começavam com os dígitos 7, 8 ou 9. É difícil falsificar uma planilha de tal forma que as contas estejam certas e também valha a lei de Benford, e é isso que torna esta observação tão útil no combate à fraude.
Aliás, existem versões mais refinadas da lei de Benford, que testam os dois ou três primeiros dígitos, e tornam o trabalho do fraudador ainda mais difícil.
Quando escolhemos números ao acaso, todos os dígitos de 1 a 9 são igualmente prováveis, mas a descoberta de Newcomb e Benford mostra que isso não é realístico.
Muitos matemáticos tentaram, com pouco êxito, explicar o paradoxo. Uma dificuldade é que existem algumas listas de números que não seguem essa lei, por exemplo, o catálogo telefônico. Outro mistério é que a lei de Benford é válida para muitas listas "artificiais" de números, tais como a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc) ou as potências de dois (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 etc).
A primeira explicação matemática da lei de Benford foi dada só em 1995, pelo matemático americano Theodore Hill (nascido em 1943), do Georgia Institute of Technology. Seu ponto de partida foi uma propriedade importante chamada invariância de escala. Ela significa que a validade da lei não depende da unidade utilizada.
Por exemplo, mesmo que Nelson tivesse conseguido ajustar os valores dos cheques –em dólar– à lei de Benford, a fraude ainda poderia ter sido descoberta convertendo tudo para reais ou euros e testando nas novas moedas.
Aliás, a lei também não depende da base numérica: os investigadores ainda tinham a opção de passar os valores dos cheques da base decimal para outra base qualquer e testar os primeiros "dígitos" nessas bases. Nelson não sabia no que estava se metendo, comprando briga com os matemáticos.
Em tempo: embora eu tenha de ler as teses dos meus alunos para saber se estão certas, não quer dizer que não seja capaz de pegar um trapaceiro. Caso o leitor duvide, sugiro o seguinte: lance uma moeda ao ar 200 vezes seguidas, anote os resultados (1 é cara, 2 é coroa) na ordem obtida e envie para mim por email. Se achar a tarefa chata, pode trapacear: invente da sua cabeça uma lista com 200 uns e dois e envie. Só que eu vou saber se é trapaça... Duvida?